从基督教的角度教授数学｜雅各 W. 毕克：教学的基督徒视角

乍一看，基督教学校的数学教学与其他学校似乎没有什么不同。无论教导者持什么信仰，终究都是教导 2+2=4。似乎对教师的唯一要求是拥有数学知识和教技巧。然而，事实并非如此。全面探讨数学是什么以及我们为什么要教授数学之后，就会得出完全不同的结论。

数学的基础

“诸天诉说上帝的荣耀，穹苍传扬祂的手段。这日到那日发出言语，这夜到那夜传出知识”（诗19:1-2）。宇宙万物中井然有序的奇迹，不仅给写下《诗篇》第19篇来抒发感慨的大卫留下了深刻的印象，而且也给各个时代和各种文化留下了深刻的印象，这些奇迹都带着无可否认的上帝的印记——而这的确是上帝的意愿。使徒保罗阐述了这一普世性的原则：“自从造天地以来，上帝的永能和神性是明明可知的，虽是眼不能见，但藉着所造之物，就可以晓得，叫人无可推委”（罗 1:20）。

宇宙万物反映了造物主的本性和荣耀。上帝是具有无限权能和智慧的上帝，拥有完美的次序和良善，祂喜欢这样在大自然中启示祂自己。因此，自然启示是非常值得我们注意的。先知以赛亚说得很清楚：“你们向上举目，看谁创造这万象”（赛 40:26）。自然启示虽不足以使人得到救恩，但它却是我们能够读到的上帝亲自“书写”的关于祂自己的两本“书”之一。这在《比利时信条》第2条中有很优美的表述：“我们用两种方法认识上帝：第一是藉着上帝的创造、护理和治理宇宙；就是在我们眼前的一本佳作，在其中的一切受造之物，无论大小，都引导我们默想关于上帝的不可见之事。”大自然的特性清楚地见证了造物主的神圣属性，其中最突出的特性是从无穷小到无穷大的数值、美妙的对称曲线，还有那些不可思议的图案——这些都是数学研究的主题。

人是按照上帝的形像受造的，在一定程度上具有造物主无限完美的属性。尤其是人被赋予了理性的头脑，能够使用和理解大自然中的数学语言。从人的角度来说，这是必要的，以便人可以回应上帝的创造，负责地使用它们，从而实现人受造的目的，完成上帝的命令：“遍满地面，治理这地；也要管理……各样行动的活物”（创 1:28）。

人在伊甸园中的堕落以及这所导致的人在狭义上失去了上帝的形像，并没有完全破坏人里面的这一恩赐，而是减损了它。我们仍然具有理性的头脑，能够进行数学推理，但比较软弱，经常出错。我们仍然能够回应上帝在大自然中关于自己的启示，但是很微弱，没有真正良善的动机。然而，尽管人的罪减损了人的能力，但人仍然在正确使用上帝的启示这件事上负有全部责任。

因此，数学不仅仅是人类头脑的创造性发明，也不仅仅是抽象的定律和根据逻辑规则进行符号运算¹。恰恰相反，数学是一门以物质世界的有序结构和人里面残存的上帝的形像为基础的学科。这是因为宇宙是上帝的杰作，不是随机产生的产品，其中有大量需要研究的令人惊叹的规律。因为我们受造是为了回应宇宙万物的次序，我们被赋予了对宇宙万物负责的能力，所以我们研究数学。数学 ，如果得到合宜的指导，是研究自然之书中的一章的学科——是一门应当带领我们怀着谦卑和感恩之心荣耀上帝的学科。在这个意义上，伽利略说数学家说的是自然的语言，以撒·牛顿谈到了跟随上帝思考上帝的思想。

数学教学方法

数学是对于数量关系和空间形式以及用来描述这些关系和形式的符号和运算的系统学习。数量关系是对于基数（多少）和次序（位置）的研究。空间形式涉及形状、大小和位置。

数量关系和空间形式从根本上说都是源自对自然世界的探究。例如，微积分的出现是研究有规律但持续变化的抛射物和天体的运动的结果。数学家们发现了其中的本质关系和蕴涵式之后，从这个起点出发加以归纳和抽象。在研究中发现的抽象的理论结果看起来似乎与自然界没有什么关系，但事实上往往会有出人意料的用途。19 世纪 60 年代在抽象代数领域发展起来的矩阵算术学，后来为描述亚原子微粒的运动提供了必需的工具。四维几何学曾经一度被认为是没有用的，不现实的，后来被阿尔伯特·爱因斯坦用到了他的相对论中。数学家和历史学家莫里斯·克兰（Morris Kline）恰如其分地概括了这个过程：“自然是思想诞生的矩阵。然后这些思想必须得到研究。接下来，看似矛盾的是，对自然的新认识产生了，获得了对自然更丰富、更宽广、更有力的理解，这反过来又产生了更深的数学活动。”

在寻找空间形式和研究数量关系的过程中，最具有代表性的是使用归纳法（从具体例子推论出一般性结论的方法）。例如，1742 年，一位名叫克里斯琴·哥德巴赫（Christian Goldbach）的业余数学家注意到，他所验证的每个偶数都是两个质数（只能被 1 和它自身整除的数）之和。他猜想所有偶数都是两个质数之和 。归纳法是我们在通过经历来学习的过程中都很熟悉的推理方法；它在数学中的作用是同样重要的。新的发现来自好奇的头脑，在试验与失败中描述自然的形式。从最基本的意义上来说，数学就是归纳。

演绎推理（根据某些逻辑原则，从已知事实推断出确定的结论）在数学中也具有重要而独特的作用。演绎推理的过程可以用下列顺序的句子来举例说明：

所有人都喜欢冰淇淋；
你是一个人；
所以，你喜欢冰淇淋。

最初的小前提可能会受到质疑，但对于根据这个前提得出的合乎逻辑的结论是不存在争议的。

一旦某个数学思想表现出来是有用的，数学家就会尝试用演绎法推断出结果。以定义和小前提为基本根基，各种猜想得到了证明。这些已证明的猜想被称为定理，成为一个数学真理，可以用来证明别的结果，等等。这样通过演绎推理进行知识的系统积累和证明，使数学与物理学区别开来。

数学的范围

从另一个意义上来说，数学与物理学很相似：都包含许多研究领域。毫无疑问，对于数学，人们最熟悉的方面是数字。孩子们从很小的时候就开始学习数数这种技能了。算术学中的数字运算是早期学习的自然延伸。一般化了的数字关系是代数学研究的内容。抽象代数学研究的是一组目标的运算，不同于普通数字的运算，比如矩阵。

几何学很直观，也是人们所熟悉的——就连婴儿都会区分不同的形状。更正式的度量几何学涉及长度和角度的测量，是一个传统的学校教学内容，但几何学还有很多其他分之。比如，变换几何（transformational geometry）研究的是运动对于图形的影响以及它们之间的关系。拓扑学（topology）研究的是物体在伸长、弯折和扭曲时不改变的特征（比如维度、面数、边数）。

数学研究的某些分支涉及数字与立体空间的关系。三角学利用三角形的面与角度的关系，应用于许多方面，包括导航和天文学的间接测量。解析几何通过使用坐标曲线，展示了数字与图形之间的联系。微积分研究的是展现逐渐变化的现象，比如物体在重力作用下的运动。很多自然想像看起来似乎是随意的，不可预测的。这似乎不在数学研究的范围之内。然而，人们越来越认识到，在自然界中没有什么是真正完全没有规律的。突然的变化，比如气球的爆裂，是一个相对来说比较新的研究领域研究的主要内容，这个新领域被称为混沌科学（chaos theory）；各种不同的变化却表现出惊人的类似的特性。另外一些现象在单独研究时是不可预测的，但把它们作为一个整体来研究，就可以得到非常精确的预测。比如，在一个房间内有很多空气分子，每个分子的运动速度可能是 0—186000 英/里秒——而且每个分子的速度经常发生不规律的变化。但是，分子的平均速度和以不同速度运动的分子所占的百分比，是可以预测的。这种情况是概率学及其分支统计学研究的内容。

自然物体的对称性常常使人感受到美学方面的愉悦。在数学中，一个名叫群论（group theory）的分支发现了人类用肉眼看不见的物体的对称性，比如原子核周围的电子云。

就连“无”和“无穷大”这两个概念也藉着数学在一定程度上得到了阐明。一些较古老的数字系统没有表示“零”的符号，这给进行有效的算术带来了困难 。无穷级数的和与极限在数学的许多分支中是很重要的工具。

数学上的这些发现清楚而深刻地显明了上帝的无限智慧，但人们却常常只把这些发现归功于人的智慧，这是多么可悲的事啊！有一位十九世纪的数学家名叫腓立比·乔丹（Philip Jourdain），他写下了这样一段具有讽刺意味的话：“有些哲学家得出了令人吃惊的结论：真理是人制造出来的，数学是数学家发明的，哥伦布创造了美洲大陆……”

数学的局限性

数学研究的范围很广博，涉及宇宙的各个方面，人类努力构造模型来表现描述宇宙万物的某些方面，但数学具有一些重大的局限性。

第一，数学不能证明或反证真实事物的存在。因此，一个能运转的原子或黑洞模型并不能确保我们知道原子究竟是什么样的或黑洞是否真实存在。

第二，有很多现实情况是数学所不能表述的。很多物理现象已经有模型了，与社会状况相比，这些是相当简单的，但其中的很多情况永远也不可能用数学的方式描述出来。就连一些相对比较简单的问题，比如设计一场国际象棋比赛的最佳方案，也是用数学方法所不能做到的。（游戏理论告诉我们，国际象棋必须只有一个获胜方案；不幸的是，有大约10的60次幂种可能性！）²

第三，最重要的是，数学并不能提供绝对的确定性或真理。数学是人类的活动，因此像人性本身一样是可改变的，并倾向于犯错误。

历史上的数学观

随着时间的流逝，数学在不断发展，与哲学和社会状况有着密切的关系。历史上关于数学的观点清楚地表明了数学领域最重大进步的发生，都有赖于相信自然是无所不能的有位格的上帝所创造的。宗教改革之后出现的在数学的进步方面有重大影响的巨人，比如以撒·牛顿、莱奥哈尔德·欧拉（Leonhard Euler），都是虔诚的信徒。数学家和历史学家莫里斯·克兰承认这一点，他说：“16 世纪 、17 世纪和大多数 18 世纪的数学家的工作……是宗教的需要。对于自然中数学规律的研究是一种宗教行为，为的是显明上帝之作为的荣耀和威严。”³他在别处还说：“数学的后果是活动和原始创造的爆炸，那段时间是数学历史上成果最丰富的时期。”⁴

而且，很多人认为现代数学是一个不会改变、毫无疑问的真理集合。几个例子就足以证明数学既不是稳定不变的，也不是没有谬误的。与此同时，数学必须要以圣经为根基的重要性就显而易见了。

演绎法大约出现于公元前 350 年，在亚里士多德的经典著作《工具论》（Organon，这是个拉丁语的题目，意思是推理的工具）中，两千多年来，这种方法对于数学研究有着巨大的影响。亚里士多德在《工具论》中为演绎推理过程制定了 14 条规则。欧几里得是一位亚历山大的数学家，大约生活在公元前 300年，他使用亚里士多德的推理方法，以关于点、线、面的几个常识性前提或命题为根据，把所有已知的几何学结果重新整理为一个演绎体系。他可以证明其他所有的结果都能够从这些前提推理得出。很多年以来，数学家们认为这些结果就是真理的实质。几何学停滞不前，就是因为以人的推理为中心，而不是以上帝的启示为中心。

直到 19 世纪，欧几里得几何学才受到了严重的挑战。那时，几位数学家证明，可以从与常识相反的二者选一的假设开始，构建与欧几里得几何学截然不同 ，但却同样合乎逻辑的几何学。这一新发现给人们带来了不安，因为它表明作为选择最佳前提的常识具有不确定性，又因为数学与现实的联系似乎存在疑问，这使人更加不安了。毕竟在这么多世纪以来，欧几里得几何学一直是全世界都认可的几何学。数学有可能最终与现实不相符吗？很快就有了答案：这些非欧几里得几何学被证明是同样真实同样有用的。欧几里得几何学对于平面而言是非常好的模式，而新的几何学在其他方面更出色，比如地球的球形表面——也许适用于整个宇宙。

19 世纪的另外一个特点是，人们试图把那时已经积累了很多的代数学结果整理为类似欧几里得几何学的演绎体系。德国数学家戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）经过九年的努力之后，与 1902 年首先宣布完成了这个计划。不幸的是，在书稿准备交付印刷的时候，为弗雷格校对文稿的数学家贝特兰德·鲁塞尔（Bertrand Russell）发现了一个严重的问题。这个错误并不是弗雷格的错误，而是演绎推理法自身的缺陷：遵循推理规则导致了不可避免的矛盾。数学所依据的根基需要修正。

如何修正演绎推理法而不引入更多的问题，是接下来的几个世纪探讨的主要话题——直到 1931 年。那一年，澳大利亚逻辑学家库尔特·戈德尔（Kurt Godel）令人信服地证明了问题的根源在更深的层面：无论规则怎样改变，传统的推理法永远也不能保证结果的确定性。有些显而易见是真实的猜想永远也不可能通过逻辑推理得到证实，比如正反面分别写着下列句子的卡片：

正面——另一面的句子是假的
背面——另一面的句子是真的

更糟糕的是，没有办法区别正确但无法证实的猜想与错误但尚未得到反证的猜想。例如，从哥德巴赫猜想（每个偶数都是两个质数的和）提出来到现在，已经两百多年过去了，它既没有得到证明也没有得到反证。它究竟是对的还是错的？戈德尔的发现意味着我们永远也不会知道答案。在数学中找不到最终的真理和确定性。

教学中需要考虑的事项

戈德尔的发现，指出了许多人认为最客观的规则中的主观因素。对于这一变化的不同反应，表明了各种潜在的哲学观点，其中有些观点至今仍然很普遍。⁵逻辑学家以逻辑证据为现实的依据；他们甚至希望亚里士多德的逻辑问题是可以容忍的，或者非亚里士多德的逻辑推理方法能够避免传统的演绎推理法的矛盾和不足。形式主义者对现实根本不感兴趣，因为对他们来说，数学仅仅是人类大脑的创造发明，是用任何可能的方法来处理各种符号的游戏，而那些不能被证实的猜想只不过是失败的发明而已。持第三种哲学观点的人有时被称为柏拉图主义者⁶，他们认为数学是一些最高现实的影子，人类头脑所能设想到的一切事情都必定与真实存在的事情相符；与前面两种哲学思想不同的是，柏拉图主义者愿意承认一些未被证实的发现只需要凭着信心接受就可以了。虽然存在差别，但这三种哲学思想都犯了同一个错误，那就是把人类的理性抬高得超过了上帝的启示。

从基督教的角度进行数学教育，是“就数学的中立性与数学现实的本性与世俗的人文主义观点争战”⁷。因为数学以上帝的创造中所启示的现实为基础，而且必须指向上帝的荣耀，所以数学教育必须以完成这两个目标为教学目的并巧妙地以这两个目标为中心。

——教师必须联系上帝在大自然中的启示引导学生看到数学的价值。
——学生必须学会用必要的技能来装备自己，以便他可以在上帝为他安排的任何位置侍奉上帝、服侍邻舍。

不熟悉鸟叫的人，往往会忽视小鸟的存在，而那些能分辨出鸟叫的人，无论在哪里，对于鸟儿的存在都更敏感。与此相似的是，熟悉数学的人，对于别人看不到的世界中的美丽次序更敏感。如果他的这种敏感导致了对于创造这些次序的造物主的更深的理解和敬拜，那么就达到了学习数学的最高目的。

为了建立数学与上帝所创造的现实之间的联系，在阐述每个题目的时候，都应当寻求联系现实。例如，在教导关于比率的课程时，可以包括关于黄金比率（Golden Ratio）的讨论。这一比率大约是 1.6 比 1，在自然界的物体身上非常常见，从隔成小房间的鹦鹉螺贝壳的螺旋，到向日葵种子的排列，都合乎黄金比例 。⁸波纳契数列（Fibonacci Sequence，1，1，2，3，5，8，13）是自然中经常发生的另外一个模式。如果不能让学生明白数学是对自然世界的反映，那么就是在暗示学生，数学没有什么重要意义，只不过是一些符号和运算。

同时，在我们这个科技社会中，数学能力是绝对必需的。数字是我们日常生活中不可避免的一部分。几乎没有什么职业不需要一定的数学能力。以数学原则为基础的电脑，已经普及到各行各业的方方面面。在家里也经常用到数学，从加倍食谱到草坪剪草机的混合燃料，再到准备纳税申报，都需要数学。受过良好教育并且擅长数学的人拥有一种很有用的恩赐——一种可以用来侍奉那位伟大的主人的恩赐。在这方面，威克里夫圣经翻译会（Wycliffe Bible Translators）的一位翻译提供了一个有趣的例子：

“我们两年前的第一批研究结果是关于应用于代词和论文的群论的，这些结果看起来非常脱离实际。它们似乎完美地适合那些纯粹的数学家的口味，‘这是纯粹的数学，愿它永远不会对任何人有用！’而在两年之内，同样的理论正被应用于玻利维亚、秘鲁、西非等彼此远隔千山万水的国家的语言，这帮助我们比以前更好地明白在这些语言当中，故事是如何构思以便让人觉得听起来更有意义的。”⁹

数学能力包括长期占统治地位的基本算术计算能力，当然还包括其他许多能力。最近的一份国家教材推荐书确定了数学能力主要包括以下几点¹⁰：

1．通过适当的运算提出问题的能力
2．掌握各种处理问题的技巧
3．明白问题的潜在数学特性
4．与其他人一起解决问题的能力
5．有能力认识到把数学思想应用于一般问题或复杂问题的可能性
6．预备好应对未解决的问题，因为大多数真实的问题都没有得到明确的阐述

要培养数学能力，不仅仅每日要用铅笔做纸上的练习题。当然，计算能力不应当舍弃的，而是应当在这个基础之上再加上对于周围世界中各种问题的应用，这个世界不仅为数学研究提供了机会，也为数学奇迹提供了机会。

当使用来自大自然的应用时，我们几乎是本能地使用归纳法来研究数学。如果引导学生去发现并应用讲座中所阐述的事实，那么学生往往会对这些事实理解得更深刻，记忆得更长久。当然，这种方法更慢一些，不能经常使用，但它可以帮助学生更准确地认识数学的特性，是一种传递信息的好方法。

同时，也应当阐明演绎法在数学教育中的独特作用。可以在很多合适的场合（不仅仅局限于高中的几何课上）教导和应用演绎推理法的具体原则和技巧。

从数学历史上选择的一些教训是很宝贵的，可以用来阐明什么是正确的和错误的使用数学、数学的有限性和易错性以及数学的价值。无论使用什么工具，为了有效而负责地使用它，都必须知道它的可能性和局限性。

结语

在教授和学习数学时，我们必须从能看见的想到看不见的，从自然的想到超自然的，从地上的想到天上的，从人想到上帝。以利户的建议也适用于我们这些教数学的教师和学数学的学生：“要站立思想上帝奇妙的作为”（伯 37:14）。那么因着上帝的恩典，我们也许可以学会像示巴女王一样宣告：

我先不信那些话，及至我来亲眼见了，才知道你的大智慧；人所告诉我的，还不到一半；你的实迹越过我所听见的名声。
(历代志下 9:6 和合本)

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1. 范布鲁梅伦，哈罗（Van Brummelen，Harro）《规范学校教材：合乎圣经的观点》（Shaping School Curriculum：A
   Biblical View），第 140 页。 ↩︎
2. 吉伦（Guillen），在前面所引用的作品中，第 143 页。 ↩︎
3. 尼克尔，在前面所引用的作品中，第 40 页。 ↩︎
4. 同上，第 34 页。 ↩︎
5. 范布鲁梅伦，哈罗，《规范学校教材》，第 139 页。 ↩︎
6. 吉伦，同上，第 27 页。 ↩︎
7. 《基督教数学教育》（The Christian Teaching of Mathematics），第 11 页。 ↩︎
8. 《基督教数学教育》，第 4 页。 ↩︎
9. 尼克尔，同上，第 103 页。 ↩︎
10. 《学校数学教材与评估标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），第 4 页。 ↩︎

参考书目

博耶，卡尔（Boyer，Carl），《数学的历史》（A History of Mathematics）， 新泽西州普林斯顿市普林斯顿大学出版社，1985 年。

《基督教数学教育》（Christian Teaching of Mathematics），鲍勃琼斯大学出版社，Bob Jones University Press 1982 年。

《学校数学教材与评估标准》（Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics），数学教师全国委员（National Council of Teachers of Mathematics），1989 年。

吉伦，迈克尔（Guillen，Michael），《通向无限的桥梁：从人类的角度看数学》（ Bridges to Infinity：The Human Side of Mathematics），包括耶里米·P·塔彻（Jeremy P. Tarcher），加利福尼亚州洛杉矶市，1983 年。

克兰，莫里斯（Kline，Morris），《从古代到当代的数学思想》（Mathematics Thought From Ancient to Modern Times），纽约牛津大学出版社，1972 年。

尼克尔，雅各（Nickel，James），《数学：上帝沉默无言吗？》（Mathematics：Is God Silent？）加利福尼亚州巴耶西托（Vallecito）市罗斯（Ross）书屋，1990 年 。

范布鲁梅伦，哈罗（Van Brummelen，Harro）《规范学校教材：合乎圣经的观点》（ Shaping School Curriculum：A Biblical View），印地安纳州特雷霍特市信号（Signal）公司，1977。

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很抱歉，译者在本章的正文中没有找到注释 2，3，4 应当插入在什么地方。插入内容如下：
2．克兰，莫里斯（Kline，Morris），《从古代到当代的数学思想》（Mathematics Thought From Ancient to Modern Times），第 205 页。
3．博耶，卡尔（Boyer，Carl），《数学的历史》（A History of Mathematics），第500 页。
4．尼克尔，雅各（Nickel，James），《数学：上帝沉默无言吗？》（Mathematics: Is God Silent？）

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James W. Beeke, Martien VanderSpek and Theo M. VandeWeg, Teaching from a Christian perspective: an anthology sponsored by the Netherlands Reformed Congregations (NRC) Educator’s Association (Grand Rapids, MI: Netherlands Reformed Congregations Educator’s Association, 1997). 雅各 W. 毕克等 磐石培训《基督教教育》（原书名为：教学的基督徒视角）NRC 荷兰改革宗教育协会编制 陈凤译 基督教教育网站推荐书籍12本