数字的本质 ｜溥伟恩《救赎数学：一种以上帝为中心的方法》

数字的本质是什么？关于数字的真理，如 2 + 2 = 4 的真理，其本质又是什么？

上帝言语指定的算术

我们已经开始回答这个问题，通过观察第 1 章中提到的真理 2 + 2 = 4 具有上帝的属性，如无所不在（omnipresence）、永恒（eternity）、无所不能（omnipotence）和真实性（truthfulness）。上帝通过言语创造了世界。作为他言语的一个方面，他指定了世界的数字特征。他的言语反映了他的性格。因此，他所说的真理具有他的属性。

但我们也可以看到，像 2 + 2 = 4 这样的真理是我们的思想可以理解的。我们可以看到这些真理与我们周围的世界有关。两个苹果加两个苹果等于四个苹果。2 + 2 = 4 的真理是超越的，就像上帝的言语超越（transcends）世界一样。同时，它是内在的（immanent）。它适用于苹果。

领域的观点（Realms）

当我们看 2 + 2 = 4 时，三个不同的领域汇聚在一起，即超验法则（transcendent law）的领域、由被造世界（created world）（苹果）内的事物组成的领域以及我们的思想领域（our minds）。这三者是和谐的。可以肯定的是，我们的思想并非绝对正确。我们可以在算术中犯错误。但我们也可以纠正错误。我们知道有些公式是正确的，有些公式不正确。我们可以知道 2 + 2 = 4 和 2 + 2 不等于 5。当我们的思想处于良好的工作状态时，它们符合超验法则（2 + 2 = 4），也符合苹果的现实。为什么？

上帝已经规定了这三个。他指定了普遍真理（2 + 2 = 4）。他创造了有苹果的世界。他创造了有思想的人类。三界之间有着根本的和谐，因为上帝是自相和谐（harmony）的，是自相一致（consistent）的。他按照自己的计划创造了一个自相一致的世界。

伦理学观点

约翰·弗兰姆（John Frame）的三种伦理学视角可以帮助我们理解这种和谐。弗兰姆认为，我们可以从至少三个不同的角度来探讨伦理学问题，并提出三个不同的起始问题。¹规范性视角询问什么是伦理学的规范。它关注上帝的诫命，例如十诫。处境性视角询问什么在我们的情境中能促进上帝的荣耀。存在性视角，也称为个人观点，询问我们的态度和动机应该是什么。它关注我们作为人。根据圣经，这三个视角是和谐的，因为上帝规定了它们。他讲出规范；他创造情境；他创造处于情境中的人。它们不仅和谐一致，而且每个都指向并肯定了其他两个。圣经中的规范告诉我们要爱我们的邻居，这是一种态度。所以他们告诉我们要注意我们的态度，这是存在性视角的重点。为了在行动上爱邻舍，我们必须评估情况，并问自己什么样的行动能帮助他们。因此，圣经中的规范促使我们关注处境。或者假设我们从处境开始。从某种意义上说，我们自己也处于这种情况中，所以我们必须注意我们的态度。这种关注使我们使用存在性视角。此外，上帝是我们处境中最重要的那位。当我们关注上帝时，我们必须关注他的规范，他希望我们的道德活动是什么样的。当我们关注他的规范时，我们正在使用规范视角。（见图 4.1。）

这三个视角不仅与狭义的伦理有关，而且与整个生命有关。整个生命都需要道德责任。当我们将这些视角应用于整个世界时，我们发现我们正在肯定我们已经对 2 + 2 = 4 做出的观察。等式 2 + 2 = 4 代表 (1) 一个规范、(2) 关于世界的真理和 (3) 我们作为人类可以知道的真理。它涉及所有三个视角，即规范 (律法)、处境 (世界) 和存在 (我们)。这三个是和谐的。

它们不仅和谐，而且相互引导。每个都暗示着其他两个。例如，2 + 2 = 4 的规范意味着在我们生活的世界中，两个苹果加两个苹果永远等于四个苹果。因此，规范视角暗示了处境视角（包括苹果）。此外，2 + 2 = 4 的规范意味着我们作为知者应该按照 2 + 2 = 4 的真理进行思考。规范性视角意味着存在性视角。

现在让我们从存在性视角开始。如果我们知道 2 + 2 = 4，那么从存在性视角来看，我们甚至在我们知道它或任何其他活着的人知道它之前就知道它是真的。我们的知识意味着超越。2 + 2 = 4 永远是真的。它是一种规范。因此，从我们的认知行为开始的存在性视角导致了规范性视角，它关注我们所知真理的超越性。此外，如果我们知道 2 + 2 = 4，我们可以推断出两个苹果加两个等于四个苹果。关注我们认知的存在性视角导致了关注苹果的情境视角。

数字视角

我们可以对某个特定数字（例如二）使用相同的三种视角。如果我们从处境视角开始，那就最容易了。数字二与所有包含两个事物的集合有关。这些集合体现并说明了数字二。我们可以考虑两个苹果、两支铅笔、两只猫。这些集合存在于世界上。当我们使用情境视角时，我们会注意到它们。情境视角自然会让我们把数字二看作一种以实际方式处理世界上事物集合的工具。

其次，让我们考虑存在性视角。作为人类，我们必须能够思考二，这样这些关于世界的任何观察对我们来说才有意义。我们有“二”这个字，我们知道如何使用它。我们可以观察两个物体的集合，我们可以思考说有两个物体意味着什么。我们对二这个字的含义有一个大致的概念。我们心中的“二”的概念可以与“外面”的集合区分开来。但它也与集合有关。我们理解“二”的含义，部分是通过考虑它与集合的关系。事实上，这种关系代表了“一”与“多”、统一与多样性的一个实例。这里的统一是数字二的统一，这种统一存在于它对所有两个事物的集合的应用中。多样性是集合的多样性——苹果、铅笔、猫等等。

第三，让我们考虑一下数字二的规范视角。数字二是所有两个事物的集合所共有的。它是同一个数字。它代表了一种普遍思维的模式，这种模式有规范。数字二正确地描述了一些集合，但不是其他集合。并且，对于数字二与其他数字的使用，也有规范。算术定律就是规范。这些规范包括数字二出现的所有算术真理。规范必须与我们的思想截然不同，因为在我们的思想中（或在纸上做算术时）我们可能会犯错误。规范也必须与世界截然不同，因为它们是普遍真理，而不仅仅是世界上两个事物的集合。

关于 2 + 2 = 4 的其他观点

我们可以用其他观点来思考上帝所创造的世界的丰富性。例如，我们可以从 2 + 2 = 4 与数学内部其他真理的关系的角度来思考它：其他算术真理、分数真理、乘法真理（例如 2 × 2 = 4）以及依赖于算术基本真理的高等数学真理。所有数学真理都和谐地融为一体。

接下来，让我们从时间经验的角度来看待 2 + 2 = 4。我们可以数物体。假设桌子上有四个苹果，分成两组，每组两个。我们数一组：一个苹果，两个苹果。我们数第二组：一个苹果，两个苹果。数完后，我们数整个集合：一、二、三、四。通过这个过程，我们验证了 2 + 2 = 4。这个过程表明 2 + 2 = 4 与时间和时间发展有关。事实上，哲学家伊曼纽尔·康德声称，人类对数字的直觉知识源于对时间的感知。

事实上，我们可以区分两个关注时间的不同视角。第一个是我们对时间的主观体验。我们确实在时间中计数，我们对时间的流逝有主观体验，包括时间的瞬间流逝或连续的心跳或连续的步行步伐。我们意识到我们可以在时间中计数。第二个视角是世界视角。“外面”的世界（The world “out there”）有时间的组织（temporal organization）。²

我们也可以从空间的角度来看待数字。桌子上的苹果在空间中占据不同的位置。从这个角度来看，2 + 2 = 4 的真理可以通过考虑四个苹果的单个静态图片来说明。它们以两个空间组的形式放在那里。 2 + 2 = 4 意味着一个空间组中的两个苹果加上第二个空间组中的两个苹果，共同构成一个更大的空间组，而这个更大的组有四个苹果。与关注时间的视角一样，关注空间的视角可以分为两种，这取决于我们是关注我们对空间的主观感知（存在焦点）还是关注“外面”世界的组织（情境焦点）。此外，我们知道一个规范：2 + 2 = 4 始终成立。

物理科学中的数学

我们也可以从物理科学的角度来看待数字。数字与时间和空间的关系导致了数字在物理科学中的应用：物理学、天文学、化学、地质学和生物学。数学在物理学、天文学和化学中发挥着重要作用。数字真理不断被使用。此外，某些社会学和实验心理学将数字和统计数据作为研究人类思想和行为规律不可或缺的一部分。

集合作为一种视角

接下来，我们可以从集合的角度来看待 2 + 2 = 4。我们一直在谈论苹果的集合。我们能概括集合的概念吗？在数学中，集合是我们对集合的直观概念的抽象概括。实际上，我们从一个集合开始，然后在我们的脑海中“剥离”除集合成员之外的所有信息。在数学中，元素为 1 和 2 的集合用括号括起来表示：{1, 2}。集合的成员或元素是集合中包含的项目。因此，集合 {1, 2} 的成员为 1 和 2。使用集合，我们可以重新表达 2 + 2 = 4 的事实。应用于集合时，这意味着如果我们有一个包含两个元素的集合，另一个包含另外两个元素的集合，这两个元素与第一个集合中的元素不同，然后我们创建另一个包含这两个集合中所有元素的集合，则这个新集合将有四个元素。

例如，假设桌子上有不同的水果：一个苹果、一个桃子、一个香蕉和一个梨。我们将这些水果分成两组。第一个集合，我们称之为集合 A，其成员是苹果和桃子：A = {苹果，桃子}。第二个集合，我们称之为集合 B，其成员是香蕉和梨。 B = {香蕉，梨}。从这两个集合我们形成第三个集合 T，它的成员包括 A 和 B 的所有成员。T = {苹果，桃子，香蕉，梨}。这个集合称为 A 和 B 的集合并集。通常，两个集合 A 和 B 的集合并集 T 包括 A 或 B 或两者中的所有成员。在我们考虑的特定情况下，A 和 B 没有共同成员。A 和 B 各有两个成员。集合并集 T 有四个。这个事实说明了 2 + 2 = 4 的原理。（见图 4.2）

我们是在重复我们已经说过的话吗？在某些方面，听起来是一样的。但我们可以看到，结果，即集合 T 有四个成员，与桌子上有哪些水果的细节无关。我们可以看到 2 + 2 = 4 通常是真的，而不仅仅是针对特定的水果选择。我们可以对集合进行一般推理（忽略我们使用的水果的细节，或者我们使用的哪些成员不是水果，而是蔬菜、石头或其他物体）。关于集合的一般推理表明，数值真理具有普遍有效性。

事实上，阿尔弗雷德·诺思·怀特海（Alfred North Whitehead）和伯特兰·罗素（Bertrand Russell）正是用这种方法试图以逻辑为起点推导出数字的属性。³逻辑出发，他们开始发展谓词（Predicates）的概念。（谓词是属性的抽象表示，如“是红色的”或“是哺乳动物”。）接下来，对于每个谓词，他们定义了一个由具有谓词所表示的属性的对象组成的类。如果两个类的成员可以一一对应，则它们代表相同的数字。通过这种方式，数字可以通过类来表示。

我们不赞同怀特海和罗素的哲学，但我们可以使用逻辑作为数字的视角和整个数学的视角。当今许多高等数学都是使用公理（axioms）和公理推论（deductions from axioms）来呈现的。形式逻辑的严谨性为所呈现的数学提供了严格的基础。数学确实是合乎逻辑的，数学家可以展示如何从适当选择的简单公理（axioms）中推导出巨大的结论。

其次，我们可以将语言作为数学的视角。数学家使用语言进行交流。他们用特殊的数学符号补充普通语言，因此数学结果既是一般语言的产物，也是产生具有特殊数学含义的新符号的能力的产物。甚至我们在公式 2 + 2 = 4 中使用的表示“加”的符号“+”和表示“等于”的符号“=”也是特殊符号。还有许多其他数学符号，其中一些不太为人所知，因为它们只用于专业领域或高等数学。特殊符号的出现得益于普通语言的灵活性，这使我们能够用新发明的符号对其进行补充，并使我们能够定义新符号的含义。因此，数学可以作为自然语言的一部分进行分析。⁴

公理数学（Axiomatic mathematics）也可以作为一种专门的语言、一种形式语言进行分析，它有从前提得出结论的专门规则。形式化语言的视角在数学分析中很有用，并且与逻辑的视角密切相关。⁵

数学与社会互动

我们还可以考虑数学与社会互动的关系。在学习算术之前，孩子们已经通过与世界、父母和他人的互动形成了对数字的一些基本直觉。他们知道拥有两只泰迪熊和一只泰迪熊是有区别的，他们可能会学习前几个数字的名称——一、二、三，甚至更多。无论是从父母那里还是在学校，他们都通过社交互动学到更多。老师教他们一些算术，他们也在课堂和操场上与同学互动，有时他们可能会玩一些在游戏中使用数字的游戏。

专业数学家之间也会发生社会互动。数学家可以与同行数学家或物理学、化学、计算机科学或其他科学领域的科学家互动，以寻找适合解决的问题，并探索最佳解决方法。如果他开发出一种解决数学问题的新方法，或提出新定理的证明，他会通过展示该方法或证明供数学家检查来与数学家互动。有时其他数学家会发现证明中的漏洞或问题，甚至反例：提出的证明失败。数学家的局限性体现在这样一个事实中：一个独自工作的数学家可能无法发现其他人后来发现的漏洞。数学依靠社会互动来验证个别数学家的工作。

数学教师还必须关注教学问题。他们如何向新生介绍数学概念和方法，如何让新生理解这些概念和方法？如何让学生不仅了解事实和规则，还能获得见解和兴趣？教师如何才能让混乱的课堂恢复纪律和秩序，让学生处在一个可以专心学习的环境中？教师如何激励那些不在乎是否通过考试、不明白重点的学生？人是复杂的，教学技巧不仅仅涉及对学科的了解，在这里指的是对数学某些领域的能力。⁶

文化影响

我们还可以考虑数学对更大的社会和文化问题的影响。有些人认为数学是严谨、清晰思维的一个关键例子。因此，它成为科学应该如何发展的典范。或者，它在第二种意义上成为科学的典范，即使用数值计算的科学比不使用数字的科学更有声望，受到更多的关注和钦佩。这种影响可以在社会科学中观察到，它使一些从业者倾向于只研究人类互动的可测量或可量化方面。结果可能是只有可测量的东西才算具有科学“意义”。然后，如果科学也是所有知识的模型，那么只有可测量的东西才对所有生命有意义。这种思想倾向不会像唯物主义哲学那样将一切都归结为物质和运动，而是将一切都归结为数量和测量。

我们还可以问世俗主义数学观念可能产生什么影响。如果我们的文化认为数学是独立于上帝而存在的，并且认为上帝与数学无关，那么这种假设是否会加强整个社会的世俗化力量？如果上帝与数学无关，那么如果我们成功地用数学分析它们，也许他与社会的所有其他领域也无关。

视角之间的和谐

上帝已注定数字与我们所考虑的所有视角有关——甚至更多。他已注定 2 + 2 = 4 是永恒的、普遍的真理。他还确立了它与许​​多其他真理的关系：算术真理、高等数学真理、物理科学真理、苹果收藏真理、人们在社交和教学中的真理以及文化影响真理（见图 4.3）。所有这些都彼此和谐相处，因为它们源自一个与自己和谐相处的上帝。

在圣经之神所教导的哲学方法中，我们可以享受世界的丰富。世界有许多维度、许多复杂性和许多美丽。我们没有必要试图通过从一个方面推导出来解释世界的丰富性。我们不需要说算术产生了世界上的其他一切。我们也不必说逻辑产生了一切。或物理对象。一切都是它本身。一切都是独一无二的。一切都与其他一切相关。上帝的计划和上帝对一切的统治产生了连贯性和独特性。连贯性和独特性代表了“一”（连贯性）和“多”（独特性）的另一种表达。

没有什么可以还原（reducible）为其他任何东西。我们的方法反对还原论（reductionism），即哲学上试图声称世界的一个方面是最终极的，一切都应该从这一方面得到完全解释⁷。为了进一步讨论世界是丰富的，还原论是不充分的一般原则，我们必须引导人们更全面地讨论当哲学和形而上学被圣经的教导改革后会是什么样子。⁸

例如，我们之前讨论过的自然主义或唯物主义（第 3 章）试图将一切归结为物质或物理层面。它声称一切“真的”都是物质、能量和运动。另一种哲学，即经验主义（empiricism），试图将一切事物归结为感觉经验。还有一种哲学，即唯心主义，试图将一切事物归结为头脑中的想法。

所有这些还原论哲学都有困难。最基本的困难是事物彼此不同。尽管存在令人印象深刻的和谐，但还原论并不能真正解释所有维度。唯物主义者声称彩虹不过是按照物理折射定律作用的物理光线。但他解释过彩虹的美丽吗？经验主义者说彩虹不过是从视网膜和视神经传递到大脑的视觉感觉。他解释过彩虹的美丽吗？唯心主义者说一切都在我们的脑海中。但他解释过我们周围的世界给我们带来惊喜的方式吗？

在解释数学时，也适用类似的原则。数学哲学家们曾试图解释数字的本质和算术真理的本质。但这些尝试大多是还原论性质（reductionistic）的（见附录 A）。最好是欣赏上帝创造的世界。数字和算术真理与整个世界有关，而这个世界是多维的（multidimensional）。上帝就是这样创造的。没有理由与之抗争，试图想象如果数字可以完全与世界隔离，它们会是什么样子。⁹

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救赎数学 一种以上帝为中心的方法 Redeeming Mathematics: A God-Centered Approach Copyright © 2015 by Vern S. Poythress Published by Crossway 英文版PDF下载

脚注：

1. John M. Frame, Perspectives on the Word of God: An Introduction to Christian Ethics (Eugene, OR: Wipf & Stock, 1999); John M. Frame, The Doctrine of the Christian Life (Phillipsburg, NJ: Presbyterian & Reformed, 2008). ↩︎
2. Immanuel Kant maintained that our subjective sense of temporal structure was derived from the categories of our minds, rather than the nature of the world as it is in itself. For a critique of this approach, see Poythress, Logic, appendix F1. Time manifests itself both subjectively (the existential perspective) and in the world (the situational perspective). ↩︎
3. Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica, 2nd ed., 3 vols. (Cambridge: Cam-bridge University Press, 1927). ↩︎
4. Poythress, “Tagmemic Analysis of Elementary Algebra.” ↩︎
5. Poythress, Logic, chapters 55–57. ↩︎
6. Helpful material on the social, pedagogical, and cultural aspects of mathematics can be found in Russell W. Howell and W. James Bradley, eds., Mathematics in a Postmodern Age: A Christian Perspective (Grand Rapids, MI/Cambridge: Eerdmans, 2001). ↩︎
7. one aspect of the world is the most ultimate and that everything ought to be explained completely from this one aspect ↩︎
8. Poythress, Redeeming Philosophy. ↩︎
9. The analogous attempt to isolate logical truth from the world is discussed in Poythress, Logic. ↩︎

英文版目录

Contents

• Diagrams and Illustrations
• Introduction: Why God?

Part I: Basic Questions

1. God and Mathematics
2. The One and the Many
3. Naturalism
4. The Nature of Numbers

Part II: Our Knowledge of Mathematics
5. Human Capabilities
6. Necessity and Contingency

Part III: Simple Mathematical Structures
7. Addition
8. The Idea of What Is Next
9. Deriving Arithmetic from Succession
10. Multiplication
11. Symmetries
12. Sets

Part IV: Other Kinds of Numbers
13. Division and Fractions
14. Subtraction and Negative Numbers
15. Irrational Numbers
16. Imaginary Numbers
17. Infinity

Part V: Geometry and Higher Mathematics
18. Space and Geometry
19. Higher Mathematics

Scripture Index

Conclusion

Supplements

Appendices A–E

Bibliography

General Index