假设我们⼤致将宗教定义为任何以信仰为基础的学科，⽽不管是否存在理性因素。例如，量⼦⼒学在这个定义下就是⼀种宗教。但数学却占据着独特的地位，它是神学中唯⼀⼀个严格证明应该被如此分类的分支。——F. De Sua 引用自 H. Eves 的《数学圈》（波士顿：Prindle、Weber 和 Schmidt，1969 年）。
数学和科学与神圣的宗教无关。——Aharon ben Zalman Emmerich Gumpertz (1723-1769)来自 Megale sod 的“Ma’amar hamada”（汉堡，1765 年）。1
基督教信仰与数学有什么关系？数学肯定是中立的啊：不管一个人有什么信仰，二加二不是等于四吗？如果数学是中立的，那么它就与信仰或哲学无关。然而，事实并非如此。在讨论各种数学哲学时，保罗·欧内斯特 (Paul Ernest) 发表了这样的评论：
数学真理最终取决于一组不可简化的假设，这些假设无需论证即可采纳。但要成为真正的知识，这些假设需要有论证依据。除了论证或证明之外，数学知识没有其他有效的依据。因此，假设是信仰，而不是知识，并且仍然值得怀疑。2
因此，数学依赖于信仰。这与宇宙学家约翰·巴罗 (John Barrow) 的观察相呼应：
人们通常将“宗教”定义为包含无法通过逻辑或观察证明的陈述的思想体系。相反，它完全或部分地依赖于某些信条。这样的定义具有有趣的结果，它涵盖了我们所知的所有科学和思想体系；哥德尔定理不仅证明了数学是一种宗教，而且表明数学是唯一可以证明自己是宗教的宗教！3
换句话说：信仰是数学不可或缺的一部分；数学不可能是中立的。
数学的哲学
数学哲学可以分为两个主要流派：绝对主义（absolutists）和可错论（fallibilists）。绝对主义者认为数学是客观的、固定的、不可修正的和绝对确定的——因此得名：强调的是数学（mathematic）（单数）。可错论者认为数学是可修正的、主观的、不完整的、不断变化和易错的：它是数学（mathematics）（复数）。绝对主义数学老师可能会通过强调常规数学任务来教学，并期望只有一个正确答案。可错论数学老师可能会强调协作、解决问题和调查数学的方法。我们如何看待数学会影响我们的教学方式——当然，这并不是对教学风格的唯一影响，数学绝对主义者可能会根据他所持有的教学信念以不同的方式教学。二加二可能等于四，但问题是我们使用的是谁的“二”概念，谁的“加”和“等于”概念？下面我们将探讨哲学看待数学的不同方式。
数学的绝对主义观点
绝对主义是几种不同观点的总称，包括：逻辑主义（logicism）、形式主义（formalism）、直觉主义（intuitionism）、柏拉图主义（Platonism）和经验主义（empiricism）。它们都有一个共同点，那就是从本质上讲，所有数学都建立在坚实的基础之上。然而，它们对这个基础是什么（what）却存在着激烈的分歧。
逻辑主义
逻辑主义的倡导者包括：G. W. 莱布尼茨 (G. W. Leibniz 1646-1716)、戈托尔布·弗雷格 (Gottolb Frege 1848-1925)、伯特兰·罗素 (Bertrand Russell 1872-1970)、阿尔弗雷德·诺思·怀特海 (Alfred North Whitehead 1861-1947) 和鲁道夫·卡尔纳普 (Rudolf Carnap 1891-1970)。卡尔纳普直言不讳地阐述了他们的信条：
逻辑主义的论点是数学可以归结为逻辑，因此它只是逻辑的一部分。4
在这里，逻辑被绝对化了。然而，逻辑的基础很快就被证明是一滩沉沙。事实证明它过于复杂、晦涩难懂、模棱两可。5集合论的悖论也加剧了它的消亡。正如罗素后来承认的那样：
我造了一头大象，数学世界可以依靠它，但我发现大象摇摇欲坠，于是又造了一只乌龟来防止大象跌倒。但乌龟并不比大象更安全，经过大约二十年的艰苦努力，我得出结论，在使数学知识不容置疑方面，我再也无能为力了。6
形式主义
大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862-1943 年）、约翰·冯·诺依曼（Johann von Neumann，1903-1957 年）和哈斯克尔·B·库里（Haskell B. Curry，1900-1982 年）是与形式主义相关的主要人物。形式主义之所以如此命名，是因为其追随者将数学视为一种形式语言。该学派在二十世纪中叶占主导地位。
1931 年，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）破坏了整个形式主义纲领。他“证明”了总会存在某些永远无法证明的真陈述。这种陈述的典型特征是：
本陈述无法证明为真。
This statement cannot be proved true.
如果可以证明为真，则该陈述为假，如果无法证明为真，则该陈述为真！对于形式主义者来说，数学对象并不存在，数学被简化为公式，简化为语言学。
如果可以证明它是真的，那么这个陈述就是假的，如果不能证明它是真的，那么它就是真的！
因为形式主义的数学对象是不存在的，数学被简化为公式，简化为语言学。
直觉主义
伊曼纽尔·康德 (Immanuel Kant 1724–1804) 和利奥波德·克罗内克 (Leopold Kronecker 1823–1891) 是数学直觉主义的先驱，但最著名的是 L. E. J. 布劳威尔 (L. E. J. Brouwer 1881–1966) 和他的学生阿伦德·海廷 (Arend Heyting 1898–1980)。正如海廷所言：
直觉主义数学家认为数学是其智力的自然功能，是一种自由、充满活力的思维活动。对他来说，数学是人类思维的产物7
布劳威尔也认为：
数学实体在我们的自然概念中并不存在，就像自然本身一样。8
建构主义者（constructivists）认为，数学是发明的，而不是发现的：它是人类的建构；然而，它是绝对的，因为它认为数学的基础是确定的。直觉主义者试图将数学建立在不言而喻的基础上。当他们无法就什么是不言而喻达成一致时，这一事业就失败了：不言而喻的东西显然不是不言而喻的！他们拒绝一切不直观的东西。这意味着他们拒绝了大量的数学，这使得这种方法对大多数数学家来说站不住脚。典型的是克罗内克拒绝无理数。
对于直觉主义者来说，数学是由直观的明显思想构成的，它主要发生在头脑中。直觉是数学的基础。因此，克罗内克有句名言：“上帝创造了整数，但其他一切都是人类的作品。”
柏拉图主义
宇宙学家约翰·巴罗（John Barrow）恰当地描述了柏拉图式的数学观：“‘π’确实在天空中。”9数学对象和结构在“某处”具有真实的客观存在；因此数学是被发现的而不是发明的。顾名思义，这种观点起源于柏拉图的思想。从这个意义上说，毕达哥拉斯（Pythagoras）和莱布尼茨（Leibniz）是柏拉图主义者。最近的追随者包括格奥尔格·康托尔（Georg Cantor 1845-1918 年）、吉尔伯特·哈代（Gilbert Hardy 1877-1947 年）和库尔特·哥德尔（Kurt Gödel 1906-1978 年），以及物理学家海因里希·赫兹（Heinrich Hertz）、理查德·费曼（Richard Feynman）、约翰·巴罗（John Barrow）、罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）和保罗·戴维斯（Paul Davies）。许多基督徒，如约翰·波金霍恩（John Polkinghorne），也采用了一种数学柏拉图主义。
柏拉图主义之所以引人注目，是因为它如此成功；大多数执业物理学家和数学家都采用了它。然而，它本质上是宗教性的：它将神性的属性归因于包含数学思想的外部永恒领域。正如克劳瑟（Clouser）所指出的：“……通过将这个假设的领域视为具有独立存在，[柏拉图主义者] 赋予它神性的地位！”10
经验主义
对于经验主义者来说，数学是基于经验概括、感觉数据的。这是功利主义哲学家约翰·斯图尔特·密尔 (John Stuart Mill 1806-1873) 的立场。对经验主义至少有两个有效的反对意见。当我们的经验与数学相矛盾时，我们不会拒绝数学真理，而且大部分数学都是抽象的，并不源于经验世界。
在绝对主义和可错论中，绝对主义可以为中立的数学观点提供任何理由。然而，正如我们所见，所有绝对主义观点都依赖于创造的某些方面来提供基础。他们都坚信现实的某些方面是自存的，而这绝不是中立的立场！此外，现在的共识是，绝对主义的数学观点是站不住脚的，也不可靠。伊姆雷·拉卡托斯（Imre Lakatos 1922-1974）也许是绝对主义数学方法最尖锐的批评者，他指出，上述理论对确定性的追求会导致恶性循环：在对确定性的追求中，他们都依赖于无法证明的假设。大象和乌龟都不是足够稳定的基础！在下一节中，我们将研究数学的可错论观点，我们将看到可错论观点实际上支持数学不是中立的观点。
数学的可错论观点
约定主义
对于约定主义者（conventionalist）来说，数学的基础建立在语言约定之上。约定主义者包括：温和派，例如 蒯因（W. V. O. Quine 1908–2000) 和 C. Hempel (Carl Gustav Hempel 1905–1997)；以及非绝对主义者，例如维特根斯坦 (Ludwig Wittgenstein 1889–1951)。虽然它不是严格的可错论者，但它可以容纳在可错论观点中。正如一位哲学家 Machover 指出的那样，它常常是失败的逻辑学家的避难所。
约定主义指出了数学知识的社会结构，仅此而已。它将数学简化为现实的语言和社会方面。
社会建构主义
社会建构主义（Social constructivism）是欧内斯特（Ernest）提出的数学哲学。它借鉴了约定主义和拉卡托斯（Lakatos）的准经验主义（quasi-empiricism）。鲁本·赫希 (Reuben Hersch) 和恩斯特·冯·格拉泽塞尔德 (Ernst von Glaserseld) 也提倡类似的方法，分别被称为“人文主义”和“激进建构主义”。欧内斯特总结了社会建构主义观点：
将数学知识描述为社会建构并采用这一名称的理由有三：
(i) 数学知识的基础是语言、惯例和规则，而语言是一种社会惯例。
(ii) 需要人际社会过程才能将个人的主观数学知识（在发表后）转变为公认的客观数学知识。
(iii) 客观性本身将被理解为社会性的。
要点 (ii) 也许是弱点：在社会建构主义立场中，从主观知识到客观知识的转变是通过发表来实现的。这似乎意味着数学不是“在外面某处”（out there somewhere），而是“在里面某处”（in there somewhere）！这造成的问题比它解决的问题还多。这可以解释为期刊审稿人是真理的仲裁者；如果对数学的相互矛盾的论述都发表了，会发生什么？它们都被认为是正确的吗？
要点 (iii) 将客观性视为社会共识。因此客观知识可能是错误的！这为相对主义的指控打开了大门。欧内斯特承认这些弱点，但在我看来，他未能化解这些弱点。
要点 (i) 取自传统主义；因此，它具有与传统主义相同的弱点：它将数学简化为现实的语言和社会方面。
可错论数学观的主要原则之一是，数学是人类活动的产物。这破坏了数学的中立观，如以下论点所示：
- 我们都有世界观
- 世界观由宗教信仰塑造
- 所有人类活动都由世界观塑造
- 数学是人类活动
因此： - 数学由宗教信仰的世界观塑造
可错论者的结论只能是数学由人的世界观塑造：这几乎不是一个中立立场！那么，数学是中立的观点是站不住脚的。
数学与中立的结论
可错论观点实际上支持数学不是中立的观点。
绝对论观点乍一看似乎支持数学是中立的信念，但它基于数学可以归结为受造界（creation）的一个或两个方面。人们认为受造界（creation）的每个方面都是自存的（self-existent）和非被造的（uncreated），这意味着它们具有神圣的属性（divine attributes），因此这些信仰本质上是宗教性的：很难说是中立的立场。
没有一种哲学可以单独为基督教的数学方法提供合适的基础。基督教的数学方法可能必须与绝对主义者一样承认其本体论的客观性，也必须与可错论者一样承认其认识论的主观性，但我们必须记住，数学是上帝的创造物：唯一非受造的是上帝。这是基督教数学观与上述哲学截然不同的地方。数学并不依赖于受造物的某些方面；它的基础是万物的创造者上帝。基督教信仰应该而且确实塑造了数学。
- 引自 Michael Deakin 和 Hans Lausch 所著《圣经和圆周率》，《数学公报》82 (第 494 期)（1998 年）第 165 页。 ↩︎
- Paul Ernest，《数学教育哲学》（Falmer，Basingstoke 1991）第 14 页。 ↩︎
- The World Within the World (Oxford University Press, Oxford, 1988) p. 257. ↩︎
- Cited in Paul Benacerraf and Hilary Putnam (ed.) Philosophy of Mathematics: Selected Readings (Blackwell, Oxford,
1964) p.31. ↩︎ - Imre Lakatos Mathematics, Science and Epistemology (Cambridge University Press, Cambridge, 1978) p. 14 ↩︎
- Cited in Ruben Hersh What is Mathematics, Really? p. 151. ↩︎
- Cited in Benacerraf and Putnam (ed.) Philosophy of Mathematics p.42. ↩︎
- Cited in Benacerraf and Putnam (ed.) Philosophy of Mathematics p.67 ↩︎
- John Barrow The World Within the World p. 241. ↩︎
- R. A. Clouser The Myth of Religious Neutrality: An Essay on the Hidden Role of Religious Beliefs in Theories
(University of Notre Dame Press, Notre Dame, 1991) p. 123 My debt to Clouser’s book goes far beyond this footnote! ↩︎
数学与中立神话 作者：史蒂夫·毕晓普（Steve Bishop）文章来源：PDF 翻译：基督教教育网
作者史蒂夫·毕晓普（Steve Bishop）是英国布里斯托尔 Soundwell 学院的数学讲师。他曾在英国布里斯托尔 Oak Hill 基督教学校教授数学和科学多年。他拥有物理学和数学理学学士（荣誉学位）和应用神学硕士学位。他的文章发表在 Spectrum（现称为 Education & Christian Belief）、Evangelical Quarterly、Themelios、Evangel 等杂志上，也是《地球属于上帝》（Regius Press，布里斯托尔，1990 年）的合著者。
